二进制算术需要理解的另一个方面是负数。前面一直假定所有的数字都是正的。从乐观的角度来看是这样，所以我们目前已对二进制数有了一半的认识。但在实际中还会遇到负数，从悲观的角度来看，我们对二进制数的认识仅仅是一半。在计算机中，是如何表示负数的？我们只能按照自己的意愿来处理二进制数字，所以解决方案必须是使用其中的一个二进制数字。
对于允许是负数的数值(称为带符号的数值)，必须先确定一个固定的长度(换言之，就是二进制数字的位数)，再把最左边的二进制数字设置为符号位。必须固定位数，这样才能避免符号位与其他位的混淆。
因为计算机的
似乎这就解决了问题，但实际上并非如此。当两个整数相加时，计算机不应不检查两个数字是否为负。我们希望使用常规的“加”来生成相应的结果。如果把–8加到+12上，答案就应是+4。
如果用简化的解决方案来执行这一操作，也就是把正数的符号位设置为1，使它变成负数，再执行算术运算，并进行常规的进位，答案就是错误的：
12转换为二进制： 0000 1100
–8转换为二进制： 1000 1000
如果把它们加起来，结果是 1001 0100。
答案是-20，这可不是我们希望的结果+4，它的二进制应是0000 0100。此时读者会认为，“没有把符号作为另一个位”。但是，在用计算机进行计算时，这是必须要考虑的。因为计算机是哑巴，它们处理这种情况会出问题。我们需要用另一种方式来表示负数。
下面看看计算机如何表示–8，即从+4中减去+12，得到正确的结果：
+4转换为二进制： 0000 0100
+12转换为二进制： 0000 1100
从前者中减去后者，结果是 1111 1000。
对于右边的4位数字，必须借1，才能进行减法，这正是我们在执行十进制算术时所进行的操作。结果就是–8，即使它看起来不是–8，但其值的确是–8。再用二进制把该值与+12或+15相加，就会得到正确的结果。
在从4中减去12时，究竟进行了什么操作？实际上是对负二进制数值采用了2的补码形式。这里需要做一个约定，以避免解释它为什么有效。下面看看如何从正数中构建负数的2的补码形式，读者也可以自己证明这是有效的。现在回到前面的例子，给-8构建2的补码形式。首先把+8转换为二进制：
0000 1000
现在反转每个二进制数字，即把0变成1，把1变成0：
1111 0111
这称为1的补码形式，如果给这个数加上1，就得到了2的补码形式：
1111 1000
这就是从+4中减去+12，得到的–8的二进制表示。为了确保正确，下面对–8和+12进行正常的相加操作：
+12转换为二进制 0000 1100
–8转换为二进制 1111 1000
把这两个数加在一起，得到： 0000 0100
答案就是4。这是正确的。左边所有的1都向前进位，这样该位的数字就是0。最左边的数字应进位到第9位，即第9位应是1，但这里不必担心这个第9位，因为在前面计算-8时从前面借了一位，在此正好抵消。实际上，这里做了一个假定，符号位1或0永远放在最左边。读者可以自己试验几个例子，就会发现这种方法总是有效的。最妙的是，这使计算机上的算术计算非常简单快速。
